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Olympiade 2000, Taejon, Corée du Sud

Problème 1

Deux cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se coupent en M et N. Soit l la tangente commune à $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ telle que M soit plus proche de l que N. La droite l est tangente à $\Gamma_1$ en A et à $\Gamma_2$ en B. La droite passant par M et parallèle à l rencontre à nouveau le cercle $\Gamma_1$ en C et le cercle $\Gamma_2$ en D. Les droites CA et DB se coupent en E ; les droites AN et CD se coupent en P ; les droites BN et CD se coupent en Q. Montrer que .

Problème 2

Soient a, b, c trois nombres réels strictement positifs vérifiant . Montrer que $\displaystyle \left(a - 1 + \frac{1}{b}\right)\left(b - 1 + \frac{1}{c}\right)\left(c - 1 + \frac{1}{a}\right) \leq 1$ .

Problème 3

Soit $n \geq 2$ un entier. Au début, il y a n puces sur une droite horizontale, pas toutes au même point. Pour un nombre réel strictement positif $\lambda$ , on définit un mouvement de la façon suivante :

on choisit deux puces situées aux points A et B, avec A à gauche de B ;
alors la puce en A saute au point C, situé sur la même droite, à droite de B et tel que $BC/AB = \lambda$ .

Trouver toutes les valeurs de $\lambda$ telles que, pour tout point M sur la droite et toutes positions initiales des n puces, il existe une suite finie de mouvements qui amène toutes les puces à droite de M.

Problème 4

Un magicien a cent cartes numérotées de 1 à 100. Il les répartit dans trois boîtes, une rouge, une blanche et une bleue, de telle sorte que chaque boîte contienne au moins une carte. Un spectateur choisit deux de ces trois boîtes, tire une carte dans chacune d'elles et annonce la somme des nombres figurant sur les cartes tirées. Connaissant cette somme, le magicien identifie la boîte dans laquelle aucune carte n'a été tirée. De combien de façons la magicien peut-il répartir les cartes dans les boîtes de telle sorte que ce tour de magie réussisse toujours ?
(Deux façons de répartir les cartes sont considérées comme différentes si au moins une carte est placée dans deux boîtes différentes).

Problème 5

Existe-t-il un entier strictement positif n tel que n soit divisible par exactement 2000 nombres premiers distincts et soit divisible par n ?

Problème 6

Soient , , les hauteurs d'un triangle ABC dont tous les angles sont aigus. Le cercle inscrit dans le triangle ABC est tangent respectivement aux côtés BC, CA, AB en , , . On désigne respectivement par , , les symétriques des droites , , par rapport aux droites , , . Montrer que , , déterminent un triangle dont les sommets appartiennent au cercle inscrit dans le triangle ABC.