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Olympiade 2001, Washington, États-Unis d'Amérique

Problème 1

Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus et dont O est le centre du cercle circonscrit. Soit P le pied de la hauteur abaissée de A sur BC.
On suppose que $\widehat{BCA}\geq\widehat{ABC}+30^{\circ}$ .
Montrer que $\widehat{CAB}+\widehat{COP}< 90^{\circ}$ .

Problème 2

Montrer que pour tous réels strictement positifs et c, on a
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$

Problème 3

Vingt-et-une filles et vingt-et-un garçons ont participé à une compétition mathématique

chaque participant a résolu au plus six problèmes ;
pour chaque fille et chaque garçon, un même problème, au moins, a été résolu par chacun d'eux.
Montrer qu'il y a un même problème, au moins, qui a été résolu par au moins trois filles et trois garçons.

Problème 4

Soit n un entier impair strictement supérieur à 1 et $k_1, k_2, \dots, k_n$ des entiers donnés.
Pour chacune des permutations $a=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ de l'ensemble $\{1, 2, \dots, n\}$ , on pose
$S(a) = \sum_{i=1}^n k_i a_i.$
Montrer qu'il existe deux permutations b et c distinctes, telles que divise .

Problème 5

Dans un triangle ABC, la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ rencontre BC en P et la bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ rencontre CA en Q.
On sait que l'angle $\widehat{BAC}$ a pour valeur $60^{\circ}$ et que .
Quelles sont les valeurs possibles des angles du triangle ABC ?

Problème 6

Soit des entiers tels que . On suppose que
$ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c).$
Montrer que n'est pas un nombre premier.