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Olympiade 2002, Glasgow, Grande-Bretagne

Problème 1

Soit n un entier strictement positif. Soit T l'ensemble des points du plan pour lesquels x et y sont des entiers positifs ou nuls et . Chaque point de T est colorié soit en rouge, soit en bleu. Si un point est rouge, alors tous les points de T avec $x'\leq x$ et $y'\leq y$ sont rouges. On appelle ensemble de type X un ensemble de n points bleus ayant des abscisses x toutes distinctes, et ensemble de type Y un ensemble de n points bleus ayant des ordonnées y toutes distinctes. Montrer que le nombre d'ensembles de type X est égal au nombre d'ensembles de type Y.

Problème 2

Soit BC un diamètre du cercle ${\Gamma}$ de centre O. Soit A un point de $\Gamma$ tel que $0{{}^\circ }<\widehat{AOB}<120{{}^\circ}$ . Soit D le milieu de l'arc $\stackrel{\displaystyle\frown}{AB}$ ne contenant pas le point C. La droite passant par O parallèle à la droite DA rencontre la droite AC en J. La médiatrice du segment OA rencontre $\Gamma$ en E et F. Montrer que J est le centre du cercle inscrit au triangle CEF.

Problème 3

Trouver tous les couples d'entiers avec $m,n\geq3$ tels qu'il existe une infinité d'entiers a strictement positifs tels que
$a^m+a-1\over a^n+a^2-1$
soit entier.

Problème 4

Soit n un entier strictement plus grand que 1. On note $d_1,d_2,\ldots,d_k$ les diviseurs positifs de n avec
$1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n.$

On pose $D = d_1d_2 + d_2d_3 + \ldots + d_{k-1}d_k.$

Montrer que :
Trouver tous les entiers n pour lesquels D est un diviseur de .

Problème 5

Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , où $\mathbb{R}$ désigne l'ensemble des réels, vérifiant
$(f(x) + f(z))(f(y) + f(t)) = f(xy-zt) + f(xt+yz)$
pour tous les de $\mathbb{R}$ .

Problème 6

Dans le plan, soient $\Gamma_1,\Gamma_2,\ldots,\Gamma_n$ des cercles de rayons 1 avec $n\geq3$ . On note respectivement par $O_1,O_2,\ldots,O_n$ leurs centres. On suppose qu'aucune droite ne rencontre plus de deux de ces cercles. Montrer que
$\sum^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}.$