Problème 1
Soit A un sous-ensemble de l'ensemble
ayant exactement
éléments. Montrer qu'il existe des nombres
dans S, tels que les ensembles :
soient deux à deux disjoints.
Problème 2
Trouver tous les couples d'entiers strictement positifs
tels que :
soit un entier strictement positif.
Problème 3
On se donne un hexagone convexe dans lesquel deux côtés opposés quelconques ont la propriété suivante : la distance entre leurs milieux est
fois la somme de leurs longueurs. Montrer que tous les angles de cet hexagone sont égaux.
(Un hexagone convexe ABCDEF a trois paires de côtés opposés : AB et DE, BC et EF, CD et FA.)
Problème 4
ABCD est un quadrilatère convexe, inscriptible. Soient P, Q et R les pieds des perpendiculaires issues de D, respectivement, sur les côtés BC, CA et AB. Montrer que
si et seulement si les bissectrices des angles
et
se coupent sur AC.
Problème 5
Soit n un entier strictement positif et
des nombres réels tels que
.
- (a) Montrer que
- (b) Montrer qu'il y a égalité si et seulement si
est une suite arithmétique.
Problème 6
Soit p un nombre premier. Montrer qu'il existe un nombre premier q tel que pour tout entier n, le nombre
n'est pas divisble par q.
![\[
A_j=\{x+t_j \mid x\in A\}\text{ pour }j=1,2,\ldots,100
\]](sujets_03_files/sujets_03004.gif)
![\[
\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}
\]](sujets_03_files/sujets_03006.gif)
![\[
\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \abs{x_i-x_j} \right)^2
\leq
\frac{2(n^2-1)}{3} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left(x_i-x_j\right)^2
\]](sujets_03_files/sujets_03013.gif)
