[ Page principale Daaramath - A propos - ]
[ Cours - Sujets et Corrigés Bac et CGS Sénégal - Exercices et Problèmes ]
[ Histoire - News du jour - Un peu de divertissement - Contact ]

Olympiade 2004, Athènes, Grèce

Problème 1

Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus et dans lequel $AB \neq AC$ . Le cercle de diamètre rencontre les côtés et respectivement en M et N. On note O le milieu du côté . Les bissectrices des angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{MON}$ se coupent en R. Montrer que les cercles circonscrits aux triangles BMR et CNR se rencontrent en un point du côté .

Problème 2

Trouver tous les pôlynomes à coefficients réels qui vérifient l'égalité :
$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$
pour tous réels a, b, c tels que

Problème 3

On appelle crochet une figure constituée de six carrés unité disposés comme ci-dessous :

$\includegraphics{sujets_04.3}$

ou toute figure obtenue à partir de celle-ci par rotations ou réflexions.
Trouver tous les rectangles de taille $m \times n$ vérifiant :
un tel rectangle est recouvert pas des crochets sans trou et sans chevauchement ; aucun crochet ne sort du rectangle.

Problème 4

Soit $n \geq 3$ un entier. Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels strictement positifs tels que :
$n^2 + 1 > (t_1 + \ldots + t_n)\left(\frac 1{t_1} + \ldots + \frac 1{t_n} \right)$

Montrer que , , sont les longueurs des côtés d'un triangle pour tous i, j, k tels que $1 \leq i < j < k \leq n$ .

Problème 5

Dans un quadrilatère convexe ABCD la diagonale BD n'est, ni la bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ , ni la bissectrice de l'angle $\widehat{CDA}$ . Un point P est intérieur à ABCD et vérifie $\widehat{PBC}=\widehat{DBA}$ et $\quad \widehat{PDC} = \widehat{BDA}$ .
Montrer que le quadrilatère ABCD est inscriptible si et seulement si

Problème 6

Un entier positif est dit alternant si deux chiffres consécutifs quelconques de son écriture décimale ont des parités différentes. Trouver tous les entiers strictement positifs n dont un multiple est alternant.