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Olympiade 2005, Mérida, Mexique

Problème 1

Six points sont choisis sur les côtés d'un triangle équilatéral ABC : , sur BC et , sur CA et , sur AB. Ces points sont les sommets d'un hexagone convexe dont les côtés sont égaux. Montrer que les droites , et sont concourantes.

Problème 2

Soit $a_1, a_2, \ldots$ une suite d'entiers ayant une infinité de termes strictement positifs et une infinité de termes strictement négatifs. On suppose que, pour chaque entier strictement positif n, les nombres $a_1, a_2, \ldots , a_n$ ont n restes deux à deux différents après division par n. Montrer que chaque entier figure exactement une fois dans la liste.

Problème 3

Soit x, y, z des reels positifs tels que $xyz \geq 1$ . Montrer que :
$\frac {x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2} + \frac {y^5 - y^2}{y^5 + z^2 + x^2} + \frac {z^5 - z^2}{z^5 + x^2 + y^2} \geq 0$

Problème 4

On considère la suite $a_1, a_2, \ldots$ définie par :
$a_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1 \quad (n = 1, 2, \ldots)$
Trouver tous les entiers strictement positifs qui sont premiers avec chaque terme de la suite.

Problème 5

Soit ABCD un quadrilatère convexe dont les côtés BC et AD sont égaux et non parallèles. Deux points E et F respectivement intérieurs aux côtés BC et AD vérifient . Les droites AC et BD se coupent en P, les droites BD et EF se coupent en Q, les droites EF et AC se coupent en R. On considère tous les triangles PQR lorsque E et F varient. Montrer que les cercles circonscrits à ces triangles ont un point commun autre que P.

Problème 6

Dans un concours mathématique problèmes ont été posés aux concurrents. Toute paire de problèmes a été résolue par strictement plus de deux cinquièmes des concurrents. Personne n'a résolu les problèmes. Montrer qu'au moins deux concurrents ont résolu, chacun, exactement problèmes.