Problème 1
Soit ABC un triangle de centre du cercle inscrit I. Un point P à l'intérieur du triangle vérifie
. Montrer que
et que l'égalité a lieu si, et seulement si
.
Problème 2
Soit P un polygone régulier à
côtés. Une de ses diagonales est dite bonne si elle divise le bord de P en deux parties chacune composée d'un nombre pair de côtés de P. Les côtés sont aussi qualifiés de bons. On suppose que P a été partitionné en triangles grâce à
diagonales, deux d'entre elles n'ayant aucun point en commun dans l'intérieur de P. Quel est le nombre maximum de triangles isocèles pouvant apparaître dans une telle configuration ?
Problème 3
Déterminer le plus petit réel M pour lequel l'inégalité :
est vérifiée pour tous nombres réels a, b et c.
Problème 4
Trouver tous les couples d'entiers
tels que :
Problème 5
Soit
un polynôme de degré
à coefficients entiers. Soit k un entier strictement positif. On considère le polynôme
, où P apparaît k fois. Montrer qu'il existe au plus n entiers t tels que
.
Problème 6
On associe à chaque côté b d'un polygone P l'aire maximale d'un triangle qui a b pour côté et qui est contenu dans P. Montrer que la somme des aires associées aux côtés de P est au moins le double de l'aire de P.
