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Olympiade 1996, Mumbai, Inde


Problème 1

ABCD est un tableau rectangulaire dans lequel $AB=20$ et $BC=12$. Ce tableau est subdivisé en 20x12 carrés unité. On se donne un entier strictement positif r.

Un jeton peut se déplacer d'un carré à un autre si et seulement si la distance des centres de ces deux carrés est exactement $\sqrt{r}$.

Le but est de trouver une suite de déplacements amenant le jeton du carré ayant pour sommet A au carré ayant pour sommet B.

  • Montrer que ceci ne peut pas être réalisé si r est divisible par $2$ ou par $3$.

  • Montrer que ceci peut jtre réalisé si $r=73$.

  • Ceci peut-il être réalisé si $r=97$ ?


Problème 2

P est un point à l'intérieur du triangle ABC tel que

\[\widehat{APB}-\widehat{ACB}=\widehat{APC}-\widehat{ABC}\]

Soient D et E les centres des cercles inscruits respectivement dans les triangles APB et APC. Montrer que les droites AP, BD et CE sont concourantes.


Problème 3

Soit $S=\left\{0,1,2,3\ldots\right\}$ l'ensemble des entiers positifs ou nuls. Trouver toutes les applications f de S dans S telles que :

\[f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)
\]

pour tout m et n de S.


Problème 4

Les entiers strictement positifs a et b sont tels que les nombres $15a+16b$ et $16a-15b$ sont tous les deux des carrés d'entiers strictement positifs.

Trouver la plus petite valeur pouvant être prise par le minimum de ces deux carrés.


Problème 5

Soit ABCDEF un hexagone convexe tel que AB soit parallèle à ED, BC soit parallèle à FE et CD soit parallèle à AF.

Soient $R_A$, $R_C$ et $R_E$ les rayons des cercles circonscrits respectivement aux triangles FAB, BCD et DEF et soit p le périmètre de l'hexagone.

Montrer que $R_A+R_C+R_E \geq \frac{p}{2}$.


Problème 6

Soient n, p et q des entiers strictement positifs tels que $n>p+q$.

Soient $x_0, x_1,\ldots, x_n$ des entiers vérifiant les deux conditions suivantes :

  • $x_0=x_n=0$
  • pour chaque entier i, $1\leq i\leq n$, on a soit $x_i-x_{i-1}=p$, soit $x_i-x_{i-1}=-q$.

Montrer qu'il existe un couple d'indices $(i,j)$ avec $i<j$ et $(i,j)\neq
(0,n)$, tel que $x_i=x_j$.


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