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Problème 1
ABCD est un tableau rectangulaire dans lequel et . Ce tableau est subdivisé en 20x12 carrés unité. On se donne un entier strictement positif r.
Un jeton peut se déplacer d'un carré à un autre si et seulement si la distance des centres de ces deux carrés est exactement .
Le but est de trouver une suite de déplacements amenant le jeton du carré ayant pour sommet A au carré ayant pour sommet B.
- Montrer que ceci ne peut pas être réalisé si r est divisible par ou par .
- Montrer que ceci peut jtre réalisé si .
- Ceci peut-il être réalisé si ?
Problème 2
P est un point à l'intérieur du triangle ABC tel que
Soient D et E les centres des cercles inscruits respectivement dans les triangles APB et APC. Montrer que les droites AP, BD et CE sont concourantes.
Problème 3
Soit l'ensemble des entiers positifs ou nuls. Trouver toutes les applications f de S dans S telles que :
pour tout m et n de S.
Problème 4
Les entiers strictement positifs a et b sont tels que les nombres et sont tous les deux des carrés d'entiers strictement positifs.
Trouver la plus petite valeur pouvant être prise par le minimum de ces deux carrés.
Problème 5
Soit ABCDEF un hexagone convexe tel que AB soit parallèle à ED, BC soit parallèle à FE et CD soit parallèle à AF.
Soient , et les rayons des cercles circonscrits respectivement aux triangles FAB, BCD et DEF et soit p le périmètre de l'hexagone.
Montrer que .
Problème 6
Soient n, p et q des entiers strictement positifs tels que .
Soient des entiers vérifiant les deux conditions suivantes :
- pour chaque entier i, , on a soit , soit .
Montrer qu'il existe un couple d'indices avec et , tel que .
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Nous remercions l'équipe de Yann Olivier pour les ressources mises en ligne.