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Sélection de l'équipe vietnamienne aux Olympiades 1994

Problème 1

Soit ABCD un parallélogramme. Soit E un point du côté BC et F un point du côté CD tels que les triangles ABE et BCF ont la même aire. La diagonale BD intersecte AE en M et AF en N. Montrer que :

Il existe un triangle dont les longueurs des côtés sont égales à BM, MN et ND.
Si E et F varient de telle sorte que la longueur MN décroisse, alors le rayon du cercle circonscrit du triangle défini ci-dessus décroît aussi.

Problème 2

Soit l'équation
$x^2+y^2+z^2+t^2-Nxyzt-N=0$
où N est un entier strictement positif donné.

Montrer que pour une infinité de valeurs de N, cette équation a des solutions en nombres entiers strictement positifs (une telle solution se compose de quatre entiers strictement positifs x, y, z et t).
Soit où k et m sont des entiers positifs ou nuls. Motnrer que l'équation considérée n'a pas de solution en nombres entiers strictement positifs.

Problème 3

Soit P un polynôme donné de degré 4 ayant quatre racines réelles strictement positives.
Montrer que l'équation
$\frac{1-4x}{x^2}\,P(x) + \left(1-\frac{1-4x}{x^2}\right)P'(x)-P''(x)=0$
a aussi quatre solutions réelles strictement positives.

Problème 4

Soit un triangle équilatéral ABC et un point M dans le plan contenant ABC. Soient , , les images de A, B, C, respectivement, par la symétrie de centre M.

Montrer qu'il existe un unique point P équidistant de A et , de B et , et de C et .
Soit D le milieu du segment AB. Montrer que quand M varie en restant distinct de D, le cercle circonscrit au triangle MNP passe toujours par un même point (N étant l'intersection des droites DM et AP).

Problème 5

Trouver toutes les fonctions $f:\R\rightarrow\R$ vérifiant pour tout x
$f\left(\sqrt{2}\,\, x\right) + f\left(\left(4+3\sqrt{2}\right)\,x\right) = 2 f \left(\left(2+\sqrt{2}\right)\,x\right)$

Problème 6

Calculer
$T=\sum\frac{1}{n_1!\,n_2!\ldots n_{1994}!\,\left(n_2+2n_3+3n_4+\cdots+1993n_{1994}\right)!}$
où la somme court sur l'ensemble des 1994-uplets de nombres entiers positifs ou nuls $(n_1,n_2,\ldots,n_{1994})$ satisfaisant
$n_1+2n_2+3n_3+\cdots+1994n_{1994}=1994$

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Nous remercions l'équipe de Yann Olivier pour les ressources mises en ligne.